Nama : Vandhana Prasasti Salsabila
Kelas : X MIPA 1
No. Absen : 33
1. Polinom P(x) = x3 - x2 + x - 2 mempunyai tiga pembuat nol yaitu a, b, dan c. Nilai dari a3+b3+c3adalah ... (OSK Matematika SMA 2010)
Pembahasan :
Pada soal, polinom x3 - x2 + x – 2 = 0 memiliki akar-akar a, b, c. Dari hal tersebut dapat diketahui tiga hal, yaitu :
· a + b + c = 1
· ab + bc + ac = 1
· abc = 2
akan dicari nilai dari a3+b3+c3. Langkah pertama adalah membuat persamaan umumnya :
(a + b + c)3 = (a + b + c)3
(a3 + b3 + c3) + (a + b + c)3– (a3 + b3 + c3) = (a + b + c)3
(a3 + b3 + c3) + [(a + b + c)3– (a3 + b3 + c3)] = (a + b + c)3
(a3 + b3 + c3) = (a + b + c)3– [(a + b + c)3– (a3 + b3 + c3)]
Sekarang akan disederhanakan nilai dari [(a + b + c)3 – (a3+ b3 + c3)]. Karena pengembangan dari (a + b + c)3= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2+ 3b2c + 3bc2 + 3a2c + 3ac2 + 6abc. Maka nilai dari [(a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3)] = 3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3a2c + 3ac2 + 6abc. Diketahui pula bahwa (ab+bc+ac)(a+b+c) = a2b + ab2 + b2c + bc2 + a2c + ac2+ 3abc, kita sebut persamaan 1.
Maka dari persamaan tadi didapat bahwa 3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3a2c + 3ac2+ 6abc, nilai ini akan identik dengan : (3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3a2c + 3ac2 + 9abc) – 3abc. Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi : 3(a2b + ab2 + b2c + bc2 + a2c + ac2 + abc) – 3abc.
Dengan mensubtitusikan persamaan 1 ke persamaan di atas maka persamaan akan menjadi :
3(ab + bc + ac)(a + b + c) - 3abc. Sehingga disimpulkan nilai dari [(a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3)] adalah sama dengan 3(a2b + ab2 + b2c + bc2+ a2c + ac2 + abc) – 3abc. Tadi telah kita dapat bahwa :
(a3 + b3 + c3) = (a + b + c)3– [(a + b + c)3– (a3 + b3 + c3)]
Dengan mengganti nilai yang bercetak tebal menjadi 3(a2b + ab2 + b2c + bc2 + a2c + ac2+ abc) – 3abc, maka persamaan menjadi :
(a3 + b3 + c3) = (a + b + c)3- [3(ab + bc + ac)(a + b + c) - 3abc]
Dengan mensubtitusikan nilai a + b + c ; ab + bc + ac ; dan abc ke dalam persamaan, maka didapat:
(a3 + b3 + c3) = (1)3 - 3[(1)(1) - 2] = 1 – 3(1-2) = 1 – 3(-1) = 1 + 3 = 4
Sehingga didapat bahwa nilai dari a3 + b3 + c3 = 4.
2. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi
n2 – 660
merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah ... (OSP Matematika SMA 2013)
Pembahasan :
Misalkan n2 – 660 = k2untuk suatu bilangan positif k. Selanjutnya kita peroleh n2 + k2= 660 «» (n+k)(n-k)= 22.3.5.11, karena (n + k) > (n – k) dan keduanya memiliki paritas sama, akibatnya ada empat kasuk yang mungkin :
· n + k = 330 dan n - k = 2 sehingga diperoleh n = 166 dan k = 164.
· n + k = 110 dan n - k = 6 sehingga diperoleh n = 58 dan k = 52.
· n + k = 66 dan n - k = 10 sehingga diperoleh n = 38 dan k = 28.
· n + k = 30 dan n - k = 22 sehingga diperoleh n = 26 dan k = 4.
Jadi, ada 4 bilangan asli n yang memenuhi.
Artikel keren lainnya:
