1. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua bilangan 4-angka yang memuat jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari M – m ? (OSP Matematika SMA 2002)
Pembahasan :
Misal bilangan itu adalah : abcd
Agar abcd sebesar besarnya maka a harus sebesar-besarnya. Maka a = 9.
Karena a = 9, agar a + b + c + d = 9, maka b = 0 ; c = 0 ; d = 0. Maka M = 9000.
Agar a, b, c, dan d sekecil-kecilnya maka a harus sekecil-kecilnya dan karena a ≠ 0, maka a = 1.
b juga harus sekecil-kecilnya, maka b = 0.
c juga harus sekecil-kecilnya, maka c = 0.
Karena a + b + c + d = 9, maka d = 8. Akibatnya m = 1008.
M – m = 9000 – 1008 = 7992 = 8 . 999 = 8 . 27 . 37
M – m = 23 . 33. 37
v Maka faktor prima terbesar dari M – m adalah 37.
2. Berapakah sisa pembagian (4343)43 oleh 100 ? (OSP Matematika SMA 2002)
Pembahasan :
Karena 4343 = (4 . 11 – 1)43 maka 4343 ≡ (-1)43 (mod 4)
4343 ≡ -1 (mod 4) ≡ 3 (mod 4)
Berarti 4343 = 4k + 3 dengan k adalah bilangan asli.
(4343)43 ≡ 434k+3≡ (1849)2k . 433
(4343)43 ≡ (49)2k . 4343 (mod 100)
(4343)43 ≡ (2401)k . 7 ( mod 100) sebab 4343 ≡ 7 (mod 100)
(4343)43 ≡ 1k. 7 (mod 100)
(4343)43 ≡ 7 (mod 100)
Karena (4343)43≡ 7 (mod 100) berarti (4343)43 ≡ 100p + 7 dengan p adalah bilangan asli.
v Maka (4343)43jika dibagi 100 akan bersisa 7.
3. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
(OSK Matematika SMA 2003)
Pembahasan :
(Jawaban : A)
Teori : Sebuah bilangan bulat habis dibagi 9 jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.
Jumlah digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (Tidak habis dibagi 9)
Jumlah digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (Tidak habis dibagi 9)
Jumlah digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (Tidak habis dibagi 9)
Jumlah digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (Tidak habis dibagi 9)
v Jadi, banyaknya bilangan yang habis dibagi 3 adalah 0
4. Misalkan k, m, n adalah bilangan-bilangan asli demikian, sehingga k > n > 1 dan faktor persekutuan terbesar k dan n sama dengan 1. Buktikan bahwa jika k – n membagi km – nm-1, maka k ≤ 2n – 1. (OSN Matematika SMA 2003)
Pembahasan :
k – n | km – nm-1
k – n | km – nm + nm – nm-1
k – n | km – nm + nm-1(n – 1)
Untuk m ∈ bilangan asli maka k – n membagi km – nm.
Karena FPB (k,n) = 1 maka FPB (k – n, nm-1) = 1. Akibatnya k – n harus membagi n – 1.
Karena k – n membagi n – 1 maka k – n ≤ n – 1
k ≤ 2n – 1
v Terbukti bahwa k ≤ 2n – 1
5. Misalkan a, b, c adalah bilangan-bilangan asli. Jika 30 | (a + b + c), buktikan bahwa
30 | (a5 + b5+ c5).
[Catatan : x | y menyatakan x habis membagi y.] (OSN Matematika SMA 2006)
Pembahasan :
Akan dibuktikan bahwa 30 ⏐ n5 − n untuk n bilangan asli.
n5 − n = n(n2 − 1)(n2 + 1) = n(n − 1)(n + 1)(n2 − 4 + 5)
n5 − n = (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n − 1)n(n + 1)
Karena n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2 adalah 5 bilangan bulat berurutan
Maka (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 5! = 120
Sehingga 30 ⏐ (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2)
Karena n − 1, n dan n + 1 adalah 3 bilangan bulat berurutan
Maka 3! = 6 membagi (n −1)n(n + 1)
Akibatnya 30 ⏐ 5(n − 1)n(n + 1)
Maka 30 ⏐ n5 − n untuk n bilangan asli
30 ⏐ a5 − a + b5 − b + c5 − c untuk a, b, c bilangan asli
Maka 30 ⏐ a5 + b5 + c5 − (a + b + c)
v Karena 30 | (a + b + c) maka 30 | (a5 + b5 + c5) (terbukti)
6. Misalkan m, n > 1 bilangan-bilangan bulat sedemikian hingga n membagi 4m – 1 dan 2m membagi n – 1. Haruskah n = 2m + 1 ? Jelaskan. (OSN Matematika SMA 2008)
Pembahasan :
Karena 2m⏐n − 1 maka n = k . 2m + 1 untuk suatu bilangan asli k.
Karena n⏐4m − 1 maka n ≤ 4m – 1
k . 2m + 1 ≤ 4m − 1 < 4m + 1
Maka k < 2m.............................. (1)
Karena n⏐4m − 1 maka n⏐(4m −1) . k2 = (k . 2m)2 − k2
Sehingga n⏐(n − 1)2 − k2 = n2 − 2n + 1 − k2
Karena n⏐n2 − 2n maka n⏐k2 − 1. Jadi, n ≤ k2 − 1 untuk k ≠ 1 .............................. (2)
n ≤ k2 − 1 < k2 < k . 2m < k . 2m + 1 = n kontradiksi untuk k ≠ 1
Jika k = 1 maka n = 2m + 1 yang memenuhi 2m⏐n − 1 dan n⏐4m – 1
v Jadi, haruslah n = 2m+ 1
7. Jika 10999999999dibagi oleh 7, maka sisanya adalah ... ( OSK Matematika SMA 2009)
Pembahasan :
10999999999 = 1000333333333= (7 . 143 – 1)333333333
10999999999 ≡ (-1)333333333(mod 7) ≡ -1 (mod 7)
10999999999 dibagi 7 maka akan bersisa 6
v 10999999999dibagi 7 akan bersisa 6.
8. Misalkan d = FPB(7n + 5, 5n + 4), dimana n adalah bilangan asli.
(a) Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku d = 1 atau 3.
(b) Buktikan bahwa d = 3 jika dan hanya jika n = 3k + 1, untuk suatu bilangan asli k.
Pembahasan :
d = FPB(7n + 5, 5n + 4)
a. Maka d⏐7n + 5 dan d⏐5n + 4
Karena d membagi 7n + 5 maka d juga membagi 5(7n + 5)
Karena d membagi 5n + 4 maka d juga membagi 7(5n + 4)
Akibatnya d juga membagi 7(5n + 4) − 5(7n + 5) = 3
Karena d|3 maka d = 1 atau 3 (terbukti)
b. Sebuah bilangan akan termasuk ke dalam salah satu bentuk dari 3k, 3k+1 atau 3k+2
Jika n = 3k maka 7n + 5 = 21k + 5 ≡ 2 (mod 3) dan 5n + 4 = 15k + 4 ≡ 1 (mod 3)
Jika n = 3k + 1 maka 7n + 5 = 21k + 12 ≡ 0 (mod 3) dan 5n + 4 = 15k + 9 ≡ 0 (mod 3)
Jika n = 3k + 2 maka 7n + 5 = 21k + 19 ≡ 1 (mod 3) dan 5n+4 = 15k+14 ≡ 2 (mod 3)
v Terbukti bahwa hanya bentuk n = 3k + 1 yang menyebabkan kedua bilangan 7n + 5 dan 5n + 4 habis dibagi 3 untuk n bilangan asli.
